Separation af variabler | Matematisk teknik, partiel differentialligninger

Denne artikel vil diskutere separation af variabler som en matematisk teknik til at løse partiel differentialligninger. Separation af variabler er en grundlæggende metode, der bruges til at adskille en kompleks differentialligning i enkle differentialligninger, som kan løses individuelt. Dette giver os mulighed for at finde en generel løsning til den oprindelige ligning.

Introduktion

Partielle differentialligninger er matematiske ligninger, der involverer funktioner af flere variable og deres delvise afledninger. De anvendes til at beskrive mange fysiske fænomener, såsom varmeledning, strømmende væsker og elektriske felter. Løsningen til en partiel differentialligning er en funktion, der opfylder ligningen og dens betingelser.

Separation af variabler er en almindelig metode til at løse partiel differentialligninger, hvor vi antager, at løsningen kan skrives som et produkt af to funktioner, hver afhængig af en af de variable. Ved at erstatte den oprindelige ligning med denne antagelse kan vi adskille variablene og finde en generel løsning ved at løse enkle differentialligninger.

Metoden

For at illustrere metoden vil vi betragte en simpel partiel differentialligning, kaldet varmeledningsligningen. Vi vil forsøge at løse denne ligning ved hjælp af separation af variabler.

Lad os betragte følgende varmeledningsligning:

d²u/dt² = k * (d²u/dx²)

Hvoru(t, x)er den ukendte funktion,ter tiden ogxer rummet, ogker en konstant koefficient.

Vi antager, at løsningen kan skrives som et produkt af to funktioner, en afhængig aftog den anden afhængig afx:

u(t, x) = T(t) * X(x)

Ved at substituere dette udtryk i den oprindelige ligning får vi:

(d²(T(t) * X(x))/dt² = k * (d²(T(t) * X(x))/dx²)

Vi kan nu adskille T(t) og X(x) ved at dividere med T(t) * X(x):

(1/T(t)) * d²(T(t))/dt² = k * (1/X(x)) * d²(X(x))/dx²

Da venstresiden kun afhænger aftog højresiden kun afhænger afx, skal begge sider være konstante for at være lig hinanden. Vi introducerer derfor en konstantλ, som vi kan sætte lighedstegn mellem:

(1/T(t)) * d²(T(t))/dt² = λ = k * (1/X(x)) * d²(X(x))/dx²

Vi har nu opnået to almindelige differentialligninger, som vi kan løse individuelt:

(1/T(t)) * d²(T(t))/dt² = λ

og

(1/X(x)) * d²(X(x))/dx² = (1/k) * λ

Ved at løse disse ligninger kan vi finde en generel løsning til den oprindelige varmeledningsligning.

Løsning

For at løse førsteligningen, (1/T(t)) * d²(T(t))/dt² = λ, kan vi differentiere to gange og omarrangere ligningen:

d²(T(t))/dt² = λ * T(t)

Dette er en almindelig differentialligning, der er kendt som en homogen andenordens differentialligning. Vi kan løse denne ligning ved at antage en løsning af formen:

T(t) = A * e^(rt)

HvorAogrer vilkårlige konstanter. Ved at substituere dette udtryk i den homogene differentialligning får vi:

r² * (A * e^(rt)) = λ * (A * e^(rt))

Vi dividerer medA * e^(rt)og får:

r² = λ

Løsningen til denne ligning er afhængig af værdien af λ. Der er tre mulige tilfælde:

Hvisλ< 0, vil r være imaginær, og løsningen vil være af formen:

T(t) = A * cos(√(-λ) * t) + B * sin(√(-λ) * t)

HvorAogBer vilkårlige konstanter.

Hvisλ = 0, vil r være nul, og løsningen vil være:

T(t) = A * t + B

HvorAogBer vilkårlige konstanter.

Hvisλ >0, vil r være reel, og løsningen vil være af formen:

T(t) = A * e^(√(λ) * t) + B * e^(-√(λ) * t)

HvorAogBer vilkårlige konstanter.

Vi har nu fundet en generel løsning forT(t).

Lad os nu fokusere på andenligningen, ((1/X(x)) * d²(X(x))/dx² = (1/k) * λ). Vi kan omarrangere denne ligning:

d²(X(x))/dx² = (1/k) * λ * X(x)

Igen har vi en almindelig andenordens differentialligning, kendt som en homogen andenordens differentialligning. Vi kan antage en løsning af formen:

X(x) = C * e^(√((1/k) * λ) * x) + D * e^(-√((1/k) * λ) * x)

HvorCogDer vilkårlige konstanter. Dette giver os den generelle løsning forX(x).

Til sidst kan vi kombinere løsningerne forT(t)ogX(x):

u(t, x) = (A * e^(√(λ) * t) + B * e^(-√(λ) * t)) * (C * e^(√((1/k) * λ) * x) + D * e^(-√((1/k) * λ) * x))

Her har vi den generelle løsning til den oprindelige varmeledningsligning ved hjælp af separation af variabler.

Konklusion

Separation af variabler er en kraftig teknik til at løse partiel differentialligninger. Ved at antage en løsning som et produkt af to funktioner, der afhænger af forskellige variable, kan vi adskille variablene og finde en generel løsning. Denne metode er især nyttig til ligninger med separable variable, hvor differentialligningen kan adskilles i enkle differentialligninger, der kan løses individuelt. Separation af variabler er en vigtig teknik inden for matematik og anvendes i mange anvendte områder som fysik, ingeniørvirksomhed og økonomi.

Således har vi set, hvordan separation af variabler kan anvendes til at løse partiel differentialligninger, med fokus på varmeledningsligningen som et eksempel. Ved at adskille variablerne og løse de afledte differentialligninger individuelt kan vi finde en generel løsning til den oprindelige ligning. Denne teknik er værdifuld inden for matematik og giver os mulighed for at besvare komplekse spørgsmål omkring dynamikken i fysiske og matematiske systemer.

Andre populære artikler: Human sygdom – Klassifikation, Årsager, Symptomer • The Greek Strategy at the Battle of Salamis 480 BCE • Determinering af køn hos Holly Bushes • KREEP – Et unikt fænomen fra Månen og meteoritter • Sami Allen – Tidligere livsstilsredaktør hos The Spruce • Jeremias i Bibelen: En Dybdegående Undersøgelse • Hvorfor beige er på vej tilbage i indretningen • Tag et kig på disse 1930ere – 1940ere køkkener • Alexander Helios – en dybdegående biografi om den glemte farao • Sådan dyrker du elecampane-planten • Sådan folder du bukser og jeans • How to Make Homemade Cleaners That Work • Hudsygdom – Acne, Bumser, Cyster • These 8 Hacks Can Help You Fake a Kitchen Reno • Den grinende Buddha i Feng Shui: Betydning og anvendelse • Den fotoelektriske effekt • Egeo – Enciclopedia de la Historia del Mundo • Polychlorotrifluoroethylene (PCTFE) • 7 Nemme Måder at Opdatere Dit Lejede Hjem Uden at Ødelægge Noget