Invertible matrix | Definition, Egenskaber

En invertibel matrix, også kendt som en ikke-singulær matrix eller en ikke-degenereret matrix, er en kvadratisk matrix, der har en invers matrix. En invers matrix er en matrix, der, når den multipliceres med den originale matrix, giver identitetsmatricen som resultat. Den invertible matrix spiller en vigtig rolle inden for lineær algebra og har mange interessante egenskaber og anvendelser.

Definition

En n x n matrix A siges at være invertibel, hvis der eksisterer en n x n matrix B, så AB = BA = I, hvor I er en identitetsmatrix. Hvis en matrix A er invertibel, skrives dens inverse normalt som A^(-1).

Egenskaber

1. En matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens determinant er forskellig fra nul, dvs. det gælder, hvis |A| ≠ 0.
2. Hvis en matrix A er invertibel, er dens inverse entydig. Der kan ikke være mere end én matrix, der opfylder kravene til en invers matrix for A.
3. Produktet af to invertible matricer er også invertibelt. Hvis A og B er invertible matricer, er AB også invertibel, og dens inverse er givet ved (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1).
4. Transponering af en invertibel matrix giver også en invertibel matrix. Hvis A er invertibel, er dens transpose, A^T, også invertibel, og (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T.
5. Inversen af en invers matrix er den oprindelige matrix. Hvis A er invertibel, er (A^(-1))^(-1) = A.
6. Inversen af en diagonal matrix er en diagonal matrix. Hvis A er en diagonal matrix, er dens inverse også en diagonal matrix.
7. Inversen af en ortogonal matrix er dens transpose. Hvis A er en ortogonal matrix, er A^(-1) = A^T. En ortogonal matrix er en matrix, hvor dens transpose er lig med dens inverse.
8. En invertibel matrix kan bruges til at løse lineære ligningssystemer. Hvis A er en invertibel matrix og b er en vektor, kan ligningen Ax = b løses ved at multiplicere begge sider af ligningen med A^(-1), hvilket giver x = A^(-1)b.
9. Invertible matricer er også kendt som fuldrangsmatricer, da rækkerne og søjlerne i en invertibel matrix er lineært uafhængige.
10. Ikke-invertible matricer kaldes singulære matricer og har determinant værdi på nul.

Disse egenskaber gør invertible matricer til et vigtigt værktøj inden for matematik, især inden for lineær algebra. Anvendelserne af invertible matricer strækker sig fra løsning af ligningssystemer til beregning af determinanter og matriceoperationer.

Konklusion

En invertibel matrix er en kvadratisk matrix, der har en invers matrix. Denne inverse matrix spiller en vigtig rolle i lineær algebra og har mange interessante egenskaber. En invertibel matrix har en determinant, der er forskellig fra nul, og dens inverse er entydig. Invertible matricer muliggør løsning af ligningssystemer og er nyttige i mange områder af matematik og anvendt videnskab. Det er vigtigt at forstå definitionen og egenskaberne af invertible matricer for at kunne anvende dem korrekt i matematisk analyse og beregninger.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er definitionen af en invertibel matrice?

En invertibel matrice er en kvadratisk matrice, hvor der findes en anden kvadratisk matrix, kaldet den inverse matrix, der, når den multipliceres med den originale matrix, giver identitetsmatricen.

Hvad er identitetsmatricen?

Identitetsmatricen er en kvadratisk matrix, hvor diagonalen består af éner, og alle andre elementer er nul. Den er indikeret med bogstavet I.

Hvad er kravet for en matrix at være invertibel?

For at en matrice skal være invertibel, skal dens determinant være forskellig fra nul.

Hvad er betydningen af en invertibel matrice?

En invertibel matrice repræsenterer en lineært transformerbart system, hvor hver inputvektor har en unik korresponderende outputvektor.

Hvordan findes den inverse matrix af en given matrice?

For at finde den inverse matrix af en given matrice, anvender man Gauss-Jordan-eliminationsmetoden, hvor man udfører rækkeoperationer, indtil den originale matrix omdannes til identitetsmatricen, og den påkrævede operation udføres på en enhedsmatrice.

Hvad er egenskaberne ved en invertibel matrice?

Nogle af egenskaberne ved en invertibel matrice er, at den har en unik invers, dens produkt med dens inverse er identitetsmatricen, og inversen af dens inverse er den oprindelige matrix.

Hvordan påvirker invertibilitet løsningen af et lineært ligningssystem?

Hvis koefficientmatricen af et lineært ligningssystem er invertibel, har systemet én entydig løsning. Hvis koefficientmatricen derimod ikke er invertibel, kan systemet enten have ingen løsning eller uendeligt mange løsninger.

Hvad er forskellen mellem invertibel matrice og ikke-invertibel matrice?

En invertibel matrice har en unik invers, og dens determinant er forskellig fra nul. En ikke-invertibel matrice har ikke en unik invers, og dens determinant er nul.

Hvordan beregnes determinanten for en given matrice?

Determinanten for en given matrice beregnes ved hjælp af forskellige metoder som f.eks. Laplaces formel, Sarrus metode eller ved at udføre rækkeoperationer og observere ændringerne i matricen.

Hvad er betingelsen for en matrice, der ikke er invertibel?

En matrice er ikke-invertibel, hvis dens determinant er nul.

Andre populære artikler: Knoglemineraltæthed og osteoporose • Tag et kig på disse 1930ere – 1940ere køkkener • How to Identify, Control • Immunodeficiency | Beskrivelse, Årsager • Guide til at dyrke og passe Dusty Miller (Silver Dust) • 10 Hurtige Tips til at Organisere og Rensligholde dit Badeværelse • Kim Yu-sin – En Legendarisk Helt fra Det Gamle Korea • Trinity i kristendommen: Oprindelse, historie og doktrinernes udvikling • The Best Feng Shui Colors for a West-Facing Front Door • Luftfugtighed | Atmosfæriske effekter, måling • Separation og oprensning – Destillation, Kromatografi, Filtrering • Ultrasound | Anvendelser, Fordele • We Put the Inbox Zero Standing Desk and Jarvis Bamboo Standing Desk Head to Head • Generic lægemidler | Pris, sikkerhed • Introduktion • Marine Protected Area (MPA) • Greek Dark Age: Hvad skete der med Mykenske civilisation under den mørke tid? • Pappataci-feber • Introduktion