Derivative – Definition og Koncept
I matematik og især inden for calculus er en af de mest grundlæggende begreber en afledet, også kendt som en afledet funktion. En afledet beskriver ændringen af en funktion i forhold til dens uafhængige variabel. En afledet kan forstås som en grænseværdi og er et centralt redskab til at analysere og bevise egenskaber ved funktioner.
Hvad er en afledt i calculus?
En afledt er en måling af, hvor hurtigt eller langsomt en funktion ændrer sig på et bestemt punkt. Denne ændringshastighed kan beskrives som hældningen af tangentlinjen til grafen for funktionen på det pågældende punkt. En afledt bruges til at beskrive mange fysiske og matematiske fænomener, herunder hastighed, acceleration og ændring af priser.
Hvad er en afledning i matematik?
I matematik er en afledning af en funktion defineret som grænsen af en differenskvotient, når intervallet mellem to punkter nærmer sig nul. Dette kan udtrykkes som:
f(x) = lim (h->0) [(f(x+h) – f(x))/h]
Her er f(x) notationen for den afledte af funktionen f(x). Det betyder, at afledningen af funktionen f(x) i forhold til variablen x er lig med grænsen af differenskvotienten som h stræber mod 0.
Hvordan bruges en afledt?
En afledt bruges til at bestemme kritiske punkter og ekstremværdier for funktioner samt at analysere kurveforløb og stejlhed. Den er almindeligvis brugt i calculus til at finde maksimum og minimum af funktioner ved hjælp af første- og andenafledte test. Afledningen giver også information om funktionens monotonicitet og konkavitet (om en funktion er stigende eller aftagende og konveks eller konkav).
Er en afledt det samme som hældning?
Ja, i sin mest grundlæggende form svarer en afledet til hældningen af tangentlinjen til en funktion på et givet punkt. Hældningen af tangentlinjen repræsenterer ændringen i funktionen med hensyn til den uafhængige variabel.
Eksempel på udregning af afledning
Lad os betragte funktionen f(x) = x^2. For at finde afledningen af denne funktion kan vi bruge den førnævnte definition:
f(x) = lim (h->0) [(f(x+h) – f(x))/h]
Ved at substituere f(x) = x^2, får vi:
f(x) = lim (h->0) [((x+h)^2 – x^2)/h]
= lim (h->0) [(x^2 + 2xh + h^2 – x^2)/h]
= lim (h->0) [2x + h]
= 2x
Dette viser, at afledningen af funktionen f(x) = x^2 er 2x. Det betyder, at hældningen af tangentlinjen til grafen af funktionen på ethvert punkt er lig med to gange værdien af x.
Konklusion
En afledning er en grundlæggende matematisk operation inden for calculus. Den beskriver ændringshastigheden af en funktion og bruges til at analysere funktioners egenskaber og deres forhold til hinanden. En afledning kan udtrykkes som en grænseværdi og fortolkes som hældningen af tangentlinjen til grafen for funktionen på et givet punkt. Ved hjælp af afledninger kan vi finde ekstremværdier, analysere kurveforløb og bestemme funktioners monotonicitet og konkavitet.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er en afledet funktion?
Hvordan defineres en afledet funktion i matematik?
Hvad betyder udtrykket afledning inden for matematik?
Kan du give et konkret eksempel på, hvordan man finder en afledet funktion?
Hvad betyder det, når man siger, at en afledet funktion viser ændringshastigheden?
Hvad er forholdet mellem en afledet funktion og hældningen af en tangent?
Kan en afledet funktion være negativ?
Hvad er forskellen mellem gennemsnitlig ændringsrate og øjeblikkelig ændringsrate?
Hvad er sammenhængen mellem grafer og afledede funktioner?
Hvornår bruges afledede funktioner i den virkelige verden?
Andre populære artikler: Nitrogenforbindelser – Reaktioner, Egenskaber og Anvendelser • Biodiversitet • Dyrkning af Rødleaf Rose (Rosa glauca) i haven • How to Grow and Care for Lithodora • Connective tissue disease – Scleroderma, Autoimmune, Fibrosis • Er mariehøns heldige i Feng Shui? • 16 Hjemmeprodukter vores redaktører har i deres indkøbskurve til Prime Day • Dalradian-serien | Caledonisk bjergkæde, metamorfe bjergarter • Sådan dyrker du havejordbær • Menneskeøjet – Syn, opfattelse, anatomi • Sådan slipper du af med myg i dit hjem • Continentality | Temperature, Seasonality, Latitude • Platinum | Farve, Symbol, Anvendelser • Induced-fit teorien: Beskrivelse, enzym, allosterisk site • Natural disasters • Feynmandiagram • Poxvirus • Organisationstips, som Type-A-mennesker bør prøve • Coordinationforbindelse – Ligander, Chelater • Septicæmi | Bakterier, bloodstream, symptomer