Calculus of variations

Calculus of variations er en matematisk disciplin, der handler om at finde ekstremalpunkter for funktionelle. Funktioneller er funktioner, der tager funktioner som input og giver en skalarværdi som output. En funktionel kan for eksempel være en integral, der afhænger af funktionens form. For at finde ekstremalpunkter for funktioneller skal man løse en variationsskabelon, der er en differentialeligning, der involverer variationer af funktionen. Calculus of variations blev først introduceret af Euler i midten af 1700-tallet, og har siden da haft en bred anvendelse i mange områder af matematik og fysik.

Eksempler på calculus of variations

For at forstå calculus of variations bedre er det nyttigt at se på nogle eksempler. Et velkendt eksempel er det såkaldte brachistochrone problem, der stammer fra Isaac Newtons tid. Problemet går ud på at finde den kurve, hvor en bold vil glide ned ad med den korteste tid. For at løse dette problem anvendes calculus of variations til at finde den kurve, hvor den tidsmæssige variation af integralerne afhænger af variationen af kurvens ligning.

Et andet eksempel er problemet med at finde den form, som en elastisk streng antager under en given belastning. Dette kan beskrives som at finde den form, hvor den potentielle energi er ekstremal. Ved at formulere dette som en funktionel og anvende calculus of variations, kan man finde den form, hvor strengen er i statisk ligevægt.

Metoder i calculus of variations

Calculus of variations kan løses ved hjælp af flere forskellige metoder. En af de mest anvendte metoder er Euler-Lagrange ligningen, der er en nøgleligning inden for calculus of variations. Denne ligning opstår ved at finde de steder, hvor variationen af funktionens værdi i forhold til dens variation afhænger af funktionens variation.

En anden metode er variational calculus, der bruger teknikker som partielle differentialligninger og variationalprincipper til at finde ekstremalpunkter. Den variational calculus anvender også nøglebegreber som funktionale afledninger og banekurver for at analysere funktionerne og finde deres ekstremalpunkter.

Applikationer af calculus of variations

Calculus of variations har anvendelse inden for mange forskellige områder af matematik og fysik. I fysik anvendes det for at formulere de grundlæggende love for mekanik, optik og elektromagnetisme. Det bruges også til at analysere dynamikken af partikler og felter og til at forstå kvantemekanikkens principper.

I matematik anvendes calculus of variations til at løse problemer inden for optimal kontrolteori, geometri og partielle differentialligninger. Det har også anvendelse inden for økonomi og økonometri til at formulere økonomiske modeller og optimere ressourceallokeringen.

Konklusion

Calculus of variations er en dybdegående matematisk disciplin, der har mange anvendelser inden for matematik og fysik. Ved at finde ekstremalpunkter for funktionaler kan man analysere og optimere systemer og processer i forskellige områder. Med metoder som Euler-Lagrange ligningen og variational calculus kan man løse variationsskabeloner og finde ekstremalpunkter for funktioner. De applikationer, der er af calculus of variations, strækker sig fra mekanik og fysik til økonomi og matematik. Med denne dybdegående forståelse af calculus of variations kan man bidrage til udviklingen af ny viden og løse komplekse problemer på flere forskellige områder.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er calculus of variations?

Calculus of variations er en matematisk disciplin, der beskæftiger sig med at finde funktioner, der ekstremiserer bestemte funktionaler. Det er en gren af matematisk analyse, der tager udgangspunkt i at finde optimale løsninger ud fra variabel variation.

Hvad er en variationel funktion?

En variationel funktion er en funktion, som er ukendt, og som vi ønsker at finde, så den minimerer eller maksimerer et funktionelt. Variationel funktion er ofte defineret over et interval og tilfredsstiller bestemte kantbetingelser.

Hvad er funktionaler i calculus of variations?

Funktionaler er funktioner af funktioner. De tager en funktion som input og giver en skalar som output. I calculus of variations er det disse funktionaler, vi ønsker at ekstremisere ved at finde variationelle funktioner, der ekstremiserer funktionalerne.

Hvad er Eulers ligning i calculus of variations?

Eulers ligning er en nødvendig betingelse for, at en funktion er en ekstremal for et funktionelt. Ligningen opstår ved at finde den funktion, der opfylder Eulers ligning, og denne funktion vil være en ekstremal for det pågældende funktionelt.

Hvad er mindste- og største værdiproblemer i calculus of variations?

Mindste- og største værdiproblemer i calculus of variations er ekstremalproblemer, hvor man søger den mindste eller største værdi af et funktionelt inden for et givet interval og under givne kantbetingelser.

Hvad er Lagrange-ligningerne i calculus of variations?

Lagrange-ligningerne er en udvidelse af Eulers ligning for problemer med flere uafhængige variable. De er nødvendige betingelser for, at den fundne funktion er en ekstremal for et funktionelt med flere uafhængige variable.

Hvordan anvendes calculus of variations i fysikken?

Calculus of variations anvendes i fysikken til at finde ekstremalstier eller ekstremaltilstande for fysiske størrelser. Det kan f.eks. anvendes til at finde den vej, som lys tager mellem to punkter med bestemte refleksions- eller brydningskarakteristikker.

Hvad er brugen af Euler-Lagrange ligningerne i fysikken?

Euler-Lagrange ligningerne bruges i fysikken til at finde ligninger, der beskriver bevægelsen eller tilstanden af et fysisk system. De kan f.eks. bruges til at finde bevægelsesligninger for partikler eller felter i klassisk mekanik eller kvantemekanik.

Hvad er et eksempel på calculus of variations i økonomi?

Et eksempel på calculus of variations i økonomi er optimering af profit eller nyttefunktioner inden for en given økonomisk ramme. Man kan f.eks. bruge calculus of variations til at bestemme, hvilke produktions- eller forbrugsmængder der skal vælges for at maksimere profit eller nytte.

Hvordan bruges calculus of variations inden for ingeniørfaget?

Innenfor ingeniørfaget kan calculus of variations bruges til at optimere design eller konstruktion af strukturer eller systemer. Det kan f.eks. bruges til at finde en form, der minimerer materialemængderne i en bærende struktur, eller optimere energiforbruget i et system.

Andre populære artikler: Criminology – Forensik, Sociologi, Psykologi • Queen Victoria: Englands længst regerende monark • Easy Purple Martin House Tips • Præster i det antikke Egypten: En dybdegående undersøgelse • EINFØRELSE • Metabolisme – Enzymer, ATP, Reaktioner • Aristippus fra Kyrene: En dybdegående undersøgelse af hans filosofi og indflydelse • Dandelion Greens: Plant Care • Eksperttips til at bruge dit udendørs område året rundt • Medieval Japan: En dybdegående undersøgelse af Japans middelalder • Oilspild | Definition, årsager, effekter, liste • Kardiovaskulær sygdom – Vene lidelser, åreforkalkning, hypertension • 10 Tips til vanding af planter i containere • Introduktion • Pre-Inka-civilisationerne på Tucume-museet • Bowman’s Capsule: Et dybdegående kig på glomerulær kapselens anatomi og funktion • Kedilerin Tarihi – Geçmişten Günümüze Kediler – Dünya Tarihi Ansiklopedisi • Battle of Friedland • Law of Large Numbers | Sandsynlighed, Stikprøver • Det humane respiratoriske system